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くだらない話

ku-hs19  

第19回『地球に深い井戸を掘ったら』

 くだらない話シリーズも終わりに近づいてきたが、最後の理屈っぽい話をすることにする。表題の『地球に深い井戸を掘ったら』どんな現象が現れるか考えてみよう。地球をドンドン深く掘って地球の裏側まで抜けるような穴を作ったらどうなるかを考える。

 ・この深い井戸に石を放り込んだらどうなるか?

 ・長いロープを垂らしたらどうなるか?

前者の回答として、地球の引力に加速されて、石の落下速度は次第に大きくなり、地球の中心では猛烈な速度になって、今度は裏側に向かって上昇していく。それと共に、地球の引力で引き戻されるので、次第に減速されて、ちょうど裏側の地面に到達した時、速度は0になっている。ここで石は向きを変えて地球の表側に向かって落下し始める…・・。こうして石は表から裏へ、裏から表へと、井戸の中を往復運動するだろう…・。

後者の回答として、地球の中心は引力の中心で何者もそこに引きつけられるので、ロープは地球の中心で蛇のようにとぐろを巻く…・。

力学の問題として正解と思われる。そこにはいくつかの前提があるが。

地球の中心を通るようなまっすぐな井戸が掘れること。

石が側壁にぶつからないためには地軸に沿って、つまり北極から南極へ掘ること。

ここで石に働く引力(万有引力)を知る必要がある。この引力の大きさは地表での石の重さそのものではない。地球の中心からrの距離に来たときに石の受ける引力は、石より内部にある地球の質量による万有引力だから、

     

 

 

(kは万有引力定数、m、Mは二物体の質量、rは二物体の距離)

というニュートンの万有引力を思い出し、

     

 

 

(地球の密度ρは一定と仮定する)として、石に働く力はrに比例することになる。そこで地球の半径をRとすると、石の「重さ」は地球の中心からrの距離では、地表での値のr/Rに減少することになる。特に地球の中心ではr/R≒0となり、いわば無重力状態が実現してるわけである。ロープがとぐろを巻いてもおかしくないわけである。また石に働く力が地球の中心からの距離に比例するということから、石の運動が地球の中心を中心とする単振動であることがわかる。

 

第20回『閑話終題』

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